यदि int {sqrt {1 + sin frac{x}{2}} } dx = A, | vedclass

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Question

(D) दिया गया समाकलन $I = \int \sqrt{1 + \sin \frac{x}{2}} dx$ है। सर्वसमिका $1 + \sin 	heta = (\sin \frac{	heta}{2} + \cos \frac{	heta}{2})^2$ का उ

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$4\,\sqrt{2}$

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(D) दिया गया समाकलन $I = \int \sqrt{1 + \sin \frac{x}{2}} dx$ है। सर्वसमिका $1 + \sin 	heta = (\sin \frac{	heta}{2} + \cos \frac{	heta}{2})^2$ का उपयोग करने पर: $1 + \sin \frac{x}{2} = (\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4})^2$. अतः,$\sqrt{1 + \sin \frac{x}{2}} = |\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4}|$. मान लीजिए कि $\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4} > 0$ है,तो: $I = \int (\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4}) dx$. पद-दर-पद समाकलन करने पर: $I = -4 \cos \frac{x}{4} + 4 \sin \frac{x}{4} + C$. इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $I = 4 (\sin \frac{x}{4} - \cos \frac{x}{4}) + C$. सर्वसमिका $\sin 	heta - \cos 	heta = \sqrt{2} \sin(	heta - \frac{\pi}{4})$ का उपयोग करने पर: $I = 4 \sqrt{2} \sin(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{4}) + C$. दिए गए रूप $A \sin(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{4})$ के साथ तुलना करने पर,$A = 4\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int {\sqrt {1 + \sin \frac{x}{2}} } dx = A\, \sin\, \left( {\frac{x}{4} - \frac{\pi }{4}} \right) + C$ है,तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $\int \sqrt{2} \sqrt{1 + \sin x} \, dx = -4 \cos(ax + b) + c$ है,तो $(a, b)$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} dx$ (जहाँ $C$ समाकलन का स्थिरांक है)।

यदि $\int(3t^2 \sin \frac{1}{t} - t \cos \frac{1}{t}) dt = f(t) \sin(\frac{1}{t}) + c$ है,तो $f(2) =$ ज्ञात कीजिए।

यदि $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}} d x=x+E x^{5 / 6}+D x^{2 / 3}+C x^{1 / 2}+B x^{1 / 3}+A x^{1 / 6}+\log (\sqrt[6]{x}-1)^6+K$ है, तो $A+B+C+D+E=$

$\int \frac{dx}{\sqrt{4x-9x^2}} = \rule{1cm}{0.15mm} + C$

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